Sesta Lezione

Abbiamo concluso lo studio della cinematica (=descrizione del movimento) delle strutture modellate come corpi rigidi ed iniziato la statica (=studio delle cause del movimento).

Tramite vari esempi riepilogativi ho cercato di mettere in evidenza alcune cose importanti da sapere sulla cinematica:

• lo spostamento di una struttura nel suo complesso è descritto dal campo di spostamento, cioè l'assegnazione di un vettore spostamento ad ogni punto. Una struttura continua ha infiniti gradi di libertà. Se però la si modella come un corpo rigido, la condizione di invarianza della forma consente di determinare, attraverso la formula dello spostamento rigido (f.s.r.) lo spostamento di tutti i punti a partire dalla conoscenza dei parametri di sposamento (p.s.)

• le equazioni di congruenza sono nv in nGDL incognite. In forma compatta si scrivono attraverso la matrice cinematica A (nv x nGDL), i parametri di spostamento incogniti u (nGDL x 1) ed i termini noti c (nv x 1) che raccolgono i cedimenti imposti dall'ambiente
• A è una sorta di "cartà di identità" della struttura e non dipende dai cedimenti. Per costruirla direttamente basta esprimere le componenti vincolate v (nv x 1) in funzione delle incognite u usando più volte la f.s.r.
• le equazioni di conguenza sono equazioni lineari perchè usiamo sempre la f.s.r. infinitesima, ciò significa che ci limitiamo a considerare rotazioni infinitesime. Se ciò non fosse dovremmo usare la f.s.r. con i seni e coseni e si otterrebbero equazioni non lineari 

• il numero di soluzioni del problema cinematico è una caratteristica molto importante per una struttura
• una struttura si dice: labile (talvolta si dice anche ipercinematica) se il problema cinematico ha infinite soluzioni, isostatica (isocinematica) se ne ha una sola, iperstatica (ipocinematica) se non ne ha nessuna
• una prima indicazione sul numero di soluzioni è ovviamente data dal confronto tra il numero totale di vincoli e gradi di libertà
• se nv < nGDL (A rettangolare bassa) vincoli sono "pochi" e la struttura è labile, cioè l'ambiente lascia libertà di movimento
• se nv > nGDL (A rettangolare alta) i vincoli sono "sovrabbondanti" e la struttura è iperstatica ed il problema non ha nessuna soluzione (cioè la struttura non si muove) salvo alcuni casi molto particolari di cedimenti (n.b. ho lasciato un esercizio da fare a questo proposito !)
• se nv=nGDL (A quadrata) normalmente la struttura è isostatica, tuttavia ci sono dei casi particolari in cui alcuni vincoli sono malposti ovvero duplicano la funzione di qualche altro e quindi è come se non ci fossero 

• per capire se i vincoli sono malposti quando nv=nGDL si può procedere in due modi:
• analiticamente basta calcolare detA. Se detA è diverso da zero i vincoli sono ben posti. La struttura è effettivamente isostatica. Se invece detA=0 il problema omogeneo ammette soluzioni non banali (=la struttura può muoversi anche con cedimenti nulli) i vincoli sono malposti e la struttura è labile 
• graficamente, basta cercare, con i criteri del metodo grafico, i centri di rotazione della struttura soggetta a cedimenti tutti nulli. Se i vincoli sono ben posti la ricerca porta ad una contraddizione e quindi non ci sono c.r. Altrimenti se i vincoli sono mal posti si trovano dei c.r. anche in assenza di cedimenti