Diciassettesima, Diciottesima e Diciannovesima Lezione

Nelle ultime tre lezioni abbiamo visto molte cose.

Prima di tutto abbiamo parlato del legame costitutivo che modella matematicamente il comportamento dei materiali, cioè il legame tra cause ed effetti del movimento. Abbiamo descritto le prove sperimentali che servono per determinare la risposta dei materiali, la complessità dei vari comportamenti che si possono osservare ed illustrato la differenza fondamentale che c'è tra rigidezza e resistenza di un materiale. Anche se i materiali si comportano in maniera molto diversa, quelli più importanti, in oportune condizioni, possono essere approssimati, per molti aspetti, dal legame costitutivo più semplice, quello elastico lineare.

Poi abbiamo visto come la conoscenza delle sollecitazioni sia la base per eseguire la verifica di resistenza, ovvero l'operazione che consiste nel rispondere alla prima domanda fondamentale dell'analisi strutturale: "questa struttura sta in piedi in questo ambiente?". 

Nel fare questo abbiamo messo in evidenza come quest'ultima fase di interpretazione dei risultati sia molto delicata perchè richiede di cautelarsi dai pericoli associati alle tante incertezze che sono insite sia nella fase di modellazione che in quella di calcolo. Infatti la scelta di un valore per i carichi o per la resistenza dei materiali piuttosto che un altro equivale, in pratica, a scegliere un certo livello di sicurezza e che quindi scelte diverse comportano rischi diversi.

Abbiamo visto qualche esempio di verifica di resistenza su semplici strutture isostatiche realizzate con profilati metallici standard (IPE, HE) ed abbiamo parlato di cosa fare nel caso in cui la verifica non sia soddisfatta (progetto per resistenza).

Dopo siamo passati a considerare la questione del calcolo degli spostamenti, che è importante per rispondere alla seconda domanda fondamentale dell'analisi strutturale: "questa struttura, in questo ambiente, si deforma abbastanza poco da essere funzionale ?".

Il problema strutturale consiste nel calcolo sia delle sollecitazioni che degli spostamenti, cioè di tutte le informazioni che servono per rispondere ad entrambe le domande fondamentali dell'analisi strutturale.

Gli strumenti che si hanno a disposizione per risolvere il problema sono tre gruppi di equazioni: la congruenza (CG), l'equilbrio (EQ) ed il legame costitutivo (LC).

Per risolvere il problema completo bisogna usarli tutti e tre. Ci sono diversi modi per usarli.

Ad esempio si può calcolare il campo di spostamenti di strutture isostatiche a partire dalla conoscenza delle sollecitazioni che si possono calcolare usando il solo EQ. Note N, T, M  con il LC si determinano le deformazioni e poi si si usano le CG procedendo come per gli esercizi visti all'inizio della seconda parte del corso, sull'effetto delle variazioni di temperatura.

Abbiamo fatto qualche esempio di verifica di deformabilità ovvero l'operazione che consiste nel rispondere alla seconda domanda fondamentale ed abbiamo parlato di cosa fare nel caso in cui la verifica non sia soddisfatta (progetto per deformabilità).

Il calcolo degli spostamenti a partire dalle sollecitazioni ovviamente funziona solo per le strutture isostatiche. 

Un procedimento che funziona per tutte le strutture si chiama metodo degli spostamenti (MdS) e consiste nella scrittura delle equazioni di EQ in termini degli spostamenti. Nel caso particolare della trave di Bernouilli-Eulero (sezioni ortogonali alla linea d'asse) alla fine si ottengono due equazioni nelle due funzioni incognite w, v che coinvolgono le derivate seconde e quarte.

Note le funzioni spostamento, tutte le altre grandezze in gioco (deformazioni e sollecitazioni) si calcolano in modo diretto per derivazione.

Abbiamo fatto qualche esempio sul MdS per renderci conto che il metodo non distingue tra strutture iso o iperstatiche. La trattazione generale è laboriosa, ma una volta fatta consente di risolvere strutture qualsiasi: tutto si riconduce alla determinazione delle condizioni al contorno che può essere fatta in modo automatico non appena si sia capito il concetto. Abbiamo sottolineato che questo metodo si presta ad essere automatizzato ed infatti è alla base dei metodi di soluzioni della maggior parte dei programmi di calcolo strutturale usati nella pratica.

Il MdS è laborioso ma facile da usare per strutture composte da un unico tratto omogeneo. Tuttavia  diventa troppo difficile da gestire a mano per strutture anche leggermente più complesse.

Per calcolare manualmente le sollecitazioni in strutture iperstatiche un po più articolate, diventa utile usare il metodo delle forze che conduce a calcoli più semplici per strutture del livello di complessità degli esercizi che possono capitare all'esonero. 

Per applicarlo, a differenza del MdS, sono necessarie delle scelte e per questo motivo il metodo non si presta ad essere automatizzato. Per applicarlo bene è quindi molto importante capire il concetto che sta dietro la procedura. Questo è uno di quei (tanti) casi in cui la semplice memorizzazione della procedura senza averne capito il senso può facilmente trarre in inganno.