Quattordicesima Lezione

Nella lezione di mercoledi scorso abbiamo completato lo studio della cinematica delle travi deformabili.

Siccome il modello è continuo, i gradi di libertà non sono più numeri come nel caso dei corpi rigidi, ma funzioni. 

Il campo di spostamento di tutte le sezioni è descritto da tre funzioni:

• spostamento assiale w, spostamento trasversale v e rotazione delle sezioni φ (grandezze cinematiche esterne)

Per ogni punto del modello (etichettato dalla coordinata z rispetto all'osservatore locale): w(z) e v(z) rappresentano lo componenti del vettore spostamento del punto mentre φ(z) è la rotazione della sezione associata al punto z.

Nello studio della cinematica delle travi bisogna introdurre altre tre funzioni che descrivono la deformazione di tutti i conci infinitesimi che compongono la trave:

• deformazione assiale ε, distorsione angolare γ e curvatura χ (grandezze cinematiche interne)

In particolare, per ogni z: ε(z) è la variazione di lunghezza del concio infinitesimo con faccia iniziale z, γ(z) è la variazione dell'angolo tra fibre e sezioni del concio che inizia in z, χ(z) è l'inverso del raggio di curvatura della circonferenza sulla quale si dispone la fibra baricentrica del solito concio.

Le grandezze cinematiche non sono indipendenti, ma sono legate da tre:

• equazioni di congruenza : legame tra deformazioni e spostamenti (grandezze cinematiche esterne ed interne)

Queste sono equazioni tra funzioni e non tra numeri ed infatti coinvolgono le derivate delle funzioni spostamento. In particolare ci dicono che le deformazioni sono determinare dalla variazione delle funzioni spostamento (derivate).

Per motivi di tempo a lezione non ho fatto le dimostrazioni delle equazioni di congruenza. Nonostante questo , le tre dimostrazioni rimangono parte integrante del programma del corso ed in particolare per l'orale.

Abbiamo poi introdotto le deformazioni termiche che modellano circostanze nelle quali l'ambiente impone alla struttura direttamente delle deformazioni, per effetto del fatto che i materili di cui le strutture sono composte tendono a variare la loro forma se soggetti a variazioni di temperatura.

Sulle strutture isostatiche è possibile determinare il campo di spostamenti prodotto dalle deformazioni termiche usando semplicemente le equazioni di congruenza.

In questo tipo di esercizi ci si trova di fronte ad un problema tipico: determinare una funzione conoscendone la derivata. Per risolvere questo problema bisogna aggiungere un'informazione: le condizioni al contorno.

Abbiamo fatto degli esercizi per illustrare come questo si possa fare in pratica.